齒輪設(shè)計中如何選擇模數(shù)？
以下是答主在精密傳動設(shè)計中，關(guān)于齒輪模數(shù)選擇的心得。齒輪模數(shù)對傳動精度（輸出扭矩曲線）的影響幾乎是第一位的，一定范圍內(nèi)，模數(shù)越小、傳動精度越高，模數(shù)越大、齒輪強度越高。
（以下不區(qū)分『傳動精度』、『輸出扭矩曲線』，并視二者為近義詞；本文只討論直齒輪，篇幅限制，斜齒輪不在討論范圍內(nèi)，但可以類比）
摘要（太長不看版）：精密傳動設(shè)計很繁瑣，本文主要介紹齒輪參數(shù)調(diào)參。多數(shù)情況下，選符合強度要求的最小的模數(shù)即可。
關(guān)于齒輪材料（金屬/塑料）：金屬/塑料齒輪的設(shè)計非常不一樣，不同材質(zhì)（模量、屈服極限），輸出扭矩曲線的區(qū)別很大，但（齒面/齒根）受力規(guī)律的區(qū)別很小，模數(shù)一般只影響齒根受力、不影響齒面受力。塑料齒輪無法在精密傳動中使用（形變大、傳動精度低），故本回答只討論20CrMnTi（精密齒輪鋼，屈服極限 850 MPa，表面硬化后，表面硬度 60 HRC、表面屈服極限1500 MPa）。
1. 模數(shù)對傳動精度的影響（無摩擦）
考慮『ISO 53:1998輪廓A 齒形、20 度壓力角、厚度 5 mm（此處應(yīng)該取 7 mm 以上，答主寫文時疏忽了）、無修形、無變位，負荷 10 Nm、轉(zhuǎn)速 4775 RPM、中心矩公差為 0』，如果齒厚公差（以及背隙、齒距誤差）為 0（關(guān)于齒厚公差、背隙、齒距誤差對傳動精度的影響，推薦閱讀
）、摩擦系數(shù)為 0（無摩擦）的1 模 24 齒的齒輪副，輸出扭矩曲線為（此時，扭矩的波動只受齒形和材料模量影響）：
換成1.5 模 16 齒，則：
換成2 模 12 齒，則：
換成0.5 模 48 齒，則：
換成0.25 模 96 齒，則：
考慮扭矩的波動率最大扭矩最小扭矩額定扭矩(=最大扭矩?最小扭矩額定扭矩=10Nm)\left( = \frac{最大扭矩 - 最小扭矩}{額定扭矩 = 10 Nm} \right)，而不是平均扭矩，因為精密傳動更關(guān)注輸出扭矩的波動范圍，則以上模數(shù)中，0.5 模的傳動精度最高。
模數(shù)-扭矩波動率：
簡單地數(shù)據(jù)處理后：
由圖可見，傳動精度最高的模數(shù)可能不是 0.5，而是 0.4～0.5 之間。（篇幅考慮，不繼續(xù)分析傳動精度更高的模數(shù)）
2. 摩擦力對傳動精度的影響
考慮摩擦系數(shù)為 0.1（有摩擦，0.1 是有潤滑時鋼-鋼比較普遍的摩擦系數(shù)）。以下圖片因為一些技術(shù)原因，y 軸顯示的是功率耗損，而不是扭矩耗損，但問題不大，齒輪副的額定功率是 5.000 kW（RPM 為 4775 = 9550 / 2，因此功率剛好是整數(shù)），y 軸數(shù)值除以 50 就可以得到（摩擦力導(dǎo)致的）扭矩耗損（百分比）。
（以下不區(qū)分功率損耗和扭矩損耗，因為兩者基本是等價的；以下只計算了摩擦力導(dǎo)致的扭矩波動、沒有計算章節(jié) 1 中齒形和材料模量導(dǎo)致的扭矩波動）
0.25 模 96 齒時：
0.5 模 48 齒時：
1 模 24 齒時：
1.5 模 16 齒時：
2 模 12 齒時：
考慮扭矩損耗的波動率最大損耗最小損耗額定扭矩(=最大損耗?最小損耗額定扭矩=10Nm)\left( = \frac{最大損耗 - 最小損耗}{額定扭矩 = 10 Nm} \right)，而不是平均（或者中位數(shù)）扭矩損耗，因為精密傳動更關(guān)注輸出扭矩的波動范圍，則以上模數(shù)中，0.25 模最好。
模數(shù)-損耗波動率：
簡單地數(shù)據(jù)處理后：
由圖可見，模數(shù)越小，因摩擦力導(dǎo)致的，扭矩損耗的波動率越小。若想將扭矩波動控制在 1% 左右%，模數(shù)最大只能取 0.75 左右。
3. 模數(shù)對傳動精度的影響（有摩擦）
若同時考慮章節(jié) 1 中齒形和材料模量、章節(jié) 2 中摩擦力的影響，即可得到最終的輸出扭矩曲線（假設(shè)沒有制造誤差）。
0.5 模 48 齒：
（因篇幅考慮，不再給出其他模數(shù)，最終的輸出扭矩曲線）
此時，名義（額定）輸出扭矩約為 9.87 Nm，（最終）波動率約為9.90?9.859.87=0.5%\frac{9.90 - 9.85}{9.87}=0.5\%。
只考慮齒形和材料模量時的波動率：0.5%。只考慮摩擦力時的波動率：0.2%?？紤]齒形和材料模量、摩擦力時的最終波動率：0.5%。最終波動率并不是0.5%+0.2%=0.7%0.5\% + 0.2\%=0.7\%，而是 0.5%，因為兩者造成的扭矩波動會有部分相互抵消。
4. 『至高』傳動精度
0.5% 扭矩波動率并不是齒輪設(shè)計能達到的最高傳動精度，還有很多能提高設(shè)計精度的方法，例如修形、變位、非標(biāo)齒形輪廓（ISO 53:1998輪廓A 雖然是最常見、最通用的，但還可以自行設(shè)計輪廓、構(gòu)建漸開線），詳情參見：
此外，加工誤差對傳動精度的影響，是可以被定量分析的。答主會將這些內(nèi)容寫在之后的回答中。
5. 模數(shù)對齒面/齒根強度的影響
一般來說，模數(shù)越大，齒根強度越高、齒面強度越低（但是降低的幅度很?。?，反之亦然，齒輪設(shè)計往往只需要考慮模數(shù)對齒根強度的影響，設(shè)計完成后校驗一下齒面強度即可。『一般來說』中的『一般』指的是『沒有使用錯誤的設(shè)計方式，或錯誤的制造工藝』，例如材質(zhì)為45 號鋼但不做淬火，導(dǎo)致很低的齒面屈服強度，這種情況是不符合本章節(jié)所述內(nèi)容的...
（下圖中，藍線是齒根安全系數(shù)、紅線是齒面安全系數(shù)）
0.5 模 48 齒時：
1 模 24 齒時：
齒面/齒根安全系數(shù)考慮了輸入扭矩非恒定、有正態(tài)分布的特性，因此比較符合內(nèi)燃機作為輸入端、不太適用于電機作為輸入端的情況。各國國標(biāo)安全系數(shù)的參考值：
齒面/齒根安全系數(shù)，和（通過有限元分析計算的）齒面/齒根應(yīng)力，結(jié)論略有不同。按照齒面/齒根安全系數(shù)計算出的齒厚，往往是依靠齒面/齒根應(yīng)力計算的齒厚的 2 倍以上，如果輸入端是電機，不建議遵循安全系數(shù)。
此外，齒厚對齒面/齒根強度往往是非線性關(guān)系。（關(guān)于齒厚，答主會寫在之后的回答中）
圖片來源（參考文獻）：
[1]唐定國, 袁和相. 齒輪設(shè)計中的強度安全系數(shù)[J].機械傳動, 1994(3):18-20.
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后記
最近還會寫幾篇關(guān)于齒輪設(shè)計的回答，有點累...某種意義上，我是把知乎當(dāng)作一個筆記平臺，寫回答就像是記筆記一樣。
