為什么你買了這么多的彩票，卻很少中獎？

1987年7月，新中國成立后第一張福利彩票——中國社會福利有獎募捐券在天津市造幣廠印刷完畢，最初的廣告語是衷心祝愿您為發(fā)展市社會福利事業(yè)作出您有意義的募捐和衷心祝愿您在有獎募捐中榮獲高獎。

中國社會福利有獎募捐券

到如今，彩票已陪伴大多數(shù)國人走過了33年，在我國，國家發(fā)行的彩票有兩種，分別是中國福利彩票和中國體育彩票。中國福利彩票由中國福利彩票發(fā)行管理中心負責(zé)發(fā)行銷售，以扶老、助殘、救孤、濟困為宗旨；而中國體育彩票則是由國家體育總局體育彩票管理中心負責(zé)發(fā)行銷售，是為籌集體育事業(yè)發(fā)展資金發(fā)行的。

在我們身邊，特別是在城市里，基本上每隔幾條街道就會有一家彩票投注站。據(jù)不完全統(tǒng)計，截至去年年底，我國彩民數(shù)量已達3億多人，相信在不少人身邊都有買彩票的人，可能是你的家人、朋友，也可能是正在讀這篇文章的你。

在國家發(fā)行的中國福利彩票和中國體育彩票下，彩票的類型又分為樂透型、競猜型、即開型、數(shù)字型、視頻型等，每種彩票各有各的玩法。我們以當(dāng)前市場上比較受歡迎的某超級大樂透彩票為例，分析其投注成本、中獎概率和期望收益之間的關(guān)系。

當(dāng)你在投注站購買一注大樂透體育彩票時，你需要在前區(qū)編號為1—35的號碼中選取5個作為你的前區(qū)號碼，再從后區(qū)編號為1—12的號碼中選取2個作為你的后區(qū)號碼，由此組成的5+2共7個號碼即為你的Lucky Number（幸運數(shù)字）。這7個號碼組成一注最簡單的彩票，它會花掉你兩塊錢，然后你只需要靜靜地等待開獎。

超級大樂透彩票中獎規(guī)則

了解了大樂透彩票的投注和中獎規(guī)則，那么我們就可以很輕松地求出投中每個等級獎金的概率。根據(jù)投注規(guī)則，計算得出該彩票的投注方式共有X=C35(5)*C12(2)= 21425712種（即前后區(qū)所有的數(shù)字組合方式有2142.5712萬種）。

樂透型彩票可看作古典概率模型中的摸球問題

2142.5712萬種為該彩票所有的數(shù)字組合方式，即所有的中獎或不中獎的彩票都在其中，則根據(jù)中獎規(guī)則：

① 獲得一等獎的情形和概率

前區(qū)5個全中，后區(qū)2個全中；即中5+2

P1=C5(5)*C2(2)÷X=1/21425712（約2142萬分之一）

② 獲得二等獎的情形和概率

前區(qū)5個全中，后區(qū)中1個；即中5+1

P2=C5(5)*C2(1)*C10(1)÷X=20/21425712（約107萬分之一）

③ 獲得三等獎的情形和概率

前區(qū)5個全中，后區(qū)中0個；即中5+0

P3=C5(5)*C10(2)÷X=45/21425712（約48萬分之一）

④ 獲得四等獎的情形和概率

前區(qū)中4個，后區(qū)2個全中；即中4+2

P4=C5(4)*C30(1)*C2(2)÷X=150/21425712（約14萬分之一）

⑤ 獲得五等獎的情形和概率

前區(qū)中4個，后區(qū)中1個；即中4+1

P5=C5(4)*C30(1)*C2(1)*C10(1)÷X=3000/21425712（約7100分之一）

⑥ 獲得六等獎的情形和概率

前區(qū)中3個，后區(qū)中2個；即中3+2

P6=C5(3)*C30(2)*C2(2)=4350/21425712（約4900分之一）

⑦ 獲得七等獎的情形和概率

前區(qū)中4個，后區(qū)中0個；即中4+0

P7=C5(4)*C30(1)*C10(2)=6750/21425712（約3200分之一）

⑧ 獲得八等獎的情形和概率

前區(qū)中2個后區(qū)中2個，或前區(qū)中3個后區(qū)中1個；即中2+2或3+1

P8=[C5(2)*C30(3)*C2(2)+C5(3)*C30(2)*C2(1)*C10(1)]÷X=127600/21425712（約168分之一）

⑨ 獲得九等獎的情形和概率

前區(qū)中1個后區(qū)中2個，或前區(qū)中3個后區(qū)中0個，或前區(qū)中2個后區(qū)中1個，或前區(qū)中0個后區(qū)中2個；即中1+2、3+0、2+1或0+2

P9=[C5(1)*C30(4)*C2(2)+C5(3)*C30(2)*C10(2)+C5(2)*C30(3)*C2(1)*C10(1)+C30(5)*C2(2)]÷X=1287281/21425712（約16.6分之一）

一注體彩超級大樂透彩票

結(jié)合以上九種情形的中獎情況，我們大概知道這種彩票的中獎概率大概是十五分之一（6.67%左右），同時我們把每個獎級的獎金乘以對應(yīng)獎級的概率，再相加到一起就可以得到一注彩票的期望收益。又因為該彩票一、二等獎獎金是根據(jù)獎池累計金額和中獎注數(shù)浮動計算的（一等獎一般在500~1000萬之間，二等獎一般在5~30萬之間），因此我們假設(shè)某期開獎金額一等獎為1000萬，二等獎為20萬。

則一注該彩票的期望收益為E=10000000*P1+200000*P2+10000*P3+……+15*P8+5*P9≈1.02元。也就是說，你花2塊錢買的一注彩票，期望收益為1.02元，有一半的錢都打了水漂。

以上我們討論的是只買一注彩票、單倍投注的方式，實際上彩票的玩法花樣也越來越多，總的來說就是你買得越多，中獎的概率越高，相對應(yīng)你花的錢就越多，最后可能虧的錢也會越多。單注獎金有上限，獎金池金額再多，期望值都很低，這也就是為什么你買了這么多彩票，但基本上都在虧錢的原因。

離散情況的數(shù)學(xué)期望

那有朋友可能會問，有沒有辦法容易中彩票一等獎呢？答案是只能靠運氣或使用窮舉法，而使用窮舉法可以讓你100%中頭獎。即你花費4285.1424萬元買下彩票所有的2142.5712萬種數(shù)字組合，那么你將中得一等獎1注，二等獎20注，三等獎45注，四等獎150注，五等獎3000注，六等獎4350注，七等獎6750注，八等獎127600注以及九等獎1287281注，共計中得2569.5405萬元。

同理，也有人問市面上另一種比較受歡迎的彩票雙色球，其中獎概率和超級大樂透相比是更高還是更低呢？其實，我們計算中獎概率的原理同上，在此筆者不做詳細的計算分析了，結(jié)果見下表：

雙色球中獎概率與期望收益

不難發(fā)現(xiàn)，其實在國內(nèi)流行的各種彩票類型中，大部分的數(shù)學(xué)期望都在1元左右（以平均每投入2元來說）。那是不是說我們應(yīng)該抵制彩票呢？這就是仁者見仁，智者見智的問題了，有的人認為彩票是假的，不可能中頭獎。而有的人認為只要自己堅持買下去，說不定哪天幸運女神就能眷顧自己。筆者這篇文章只是想告訴大家可以通過數(shù)學(xué)期望來估算彩票的收益，雖然大部分人是虧錢的。

但其實國家設(shè)置福利彩票的初衷并不是為了賺民眾的錢，也不是為了每天創(chuàng)造出幾個暴發(fā)戶，而是一種取之于民用之于民的公益手段。我們從中國福利彩票發(fā)行管理中心官方網(wǎng)站上可以看到每期銷售額的資金分配情況：雙色球每期有51%用于返獎，除去2%的調(diào)節(jié)基金，每期只有49%用來派獎（中獎獎金），13%為彩票發(fā)行費（成本費用），36%為彩票公益金（公益事業(yè)）。

彩票資金分配

也就是說，你購買了一張10塊錢的彩票，其中的5.1元用來設(shè)置獎金返獎，1.3元是彩票的發(fā)行成本，還有3.6元用于扶老、助殘、救孤、濟困和籌集體育事業(yè)發(fā)展資金等公益事業(yè)。

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因此，廣大彩民朋友們也千萬不要把它當(dāng)作賺錢的工具，也切不可聽信所謂的彩票達人之類的分析，謹防上當(dāng)受騙。畢竟小買怡情，大買傷心，強買傾家蕩產(chǎn)啊~